La fig. 10 illustra la seguente situazione: due punti M, N sono
inizialmente fermi rispetto a un rif. inerziale K (assi (x,t) in
figura). All'istante t=0 entrambi i punti si mettono in moto con la
stessa accelerazione. 
Non è necessario che questa accel. sia costante: basta che resti
positiva per un certo intervallo di tempo, e la stessa per M e N. Però
la figura rappresenta un'accel. costante.
A uno stesso istante di K l'accel. cessa, e i punti M, N si muovono
con velocità v costante.
Indicherò con g il gamma corrispondente a questa v.

Le curve orarie di M, N sono rappresentate in rosso.
Per costruzione, la curva di N è traslata in direzione x rispetto a
quella di M.
I punti A, B, C, D, G, H sono eventi, così definiti.
A, B sono gli eventi in cui ha inizio l'accelerazione.
C, D sono quelli in cui l'accel. termina.
G è un punto qualsiasi della linea oraria di M, durante la fase in cui
il moto è accelerato.
H è l'evento sulla linea oraria di N, simultaneo a G in K: quindi le
velocità di M, N in G, H sono le stesse.

In G è indicata la tangente alla curva, che mostra la velocità
istantanea di M.
Gli assi (x',t') si riferiscono al rif. inerziale K', "tangente" al
moto di M all'evento G: l'asse t' è parallelo alla tangente alla
curva; l'asse x' è tracciato di conseguenza. Gli angoli tra x, x' e tra
t, t' sono uguali.
H' è l'evento sulla curva di N, simultaneo a G in K': GH' è parallela
all'asse x'.

Per definizione di K', M ha velocità nulla all'evento G in questo
rif.; invece la velocità di N allo stesso istante t' non è nulla,
perché la tangente in H' alla linea oraria di N non è parallela alla
tangente in G alla linea di M.
Questo è vero comunque si scelga G tra A e C, il che dimostra che
durante la fase di accelerazione non esiste alcun rif. inerziale in
cui M e N siano simultanemente fermi.

Chiediamoci ora quale sia la distanza propria tra M e N.
Questo ha senso solo se esiste un rif. inerziale in cui M, N sono
entrambi fermi; cosa che accade prima e dopo la fase di accelerazione,
ma non durante, per quanto abbiamo visto.
Per t <= 0 (in K) la distanza propria coincide con la distanza AB, che
indico con L.
Che cosa accade dopo l'evento C?

A uguali tempi in K la distanza è rimasta immutata, ma M e N si
muovono rispetto a K con velocità v: quindi, a causa della contrazione
di Lorentz, la cercata distanza propria vale L*g.

Viceversa, consideriamo i due punti fissi rispetto a K che per t=0
coincidono con M, N, e la cui distanza propria è quindi L.
Questi punti dopo la fase di accel. si muovono rispetto a K' con
velocità -v: quindi la loro distanza misurata da K' è L/g.